Objętość i pole powierzchni graniastosłupa

Objętość dowolnego graniastosłupa jest opisana wzorem:

V = P_p \cdot H, gdzie P_p to pole podstawy graniastosłupa. H to długość wysokości graniastosłupa, a V – objętość/

Pole powierzchni całkowitej dowolnego graniastosłupa dane jest wzorem:

P_c = 2P_p + P_h, gdzie P_p to pole podstawy graniastosłupa. p_b to pole powierzchni bocznej graniastosłupa.

Przejdźmy teraz od teorii do praktyki. Rozwiążmy kilka zadań, obliczając pole powierzchni całkowitej i objętość danego graniastosłupa.

Zadanie 1

Pole powierzchni sześcianu jest równe 36\ cm^2. Oblicz jego objętość.

Rozwiązanie

V = P_p \cdot H i  P_p = a^2a = H

Ponieważ mamy do czynienia z sześcianem, w którym podstawą jest kwadrat o boku długości a i ściany boczne są również kwadratami o boku długości a, zatem wzór na objętość sześcianu po odpowiednim zmodyfikowaniu ma postać:

V = a^3
P_c = 6a^2 P_c = 36
6a^2 = 36
a^2 =6
a =\sqrt6

Skoro długość boku wynosi a =\sqrt6, to jego objętość wynosi

V = a^3 = (\sqrt6)^3 = 6 \sqrt6\ cm^3

Odpowiedź

Objętość sześcianu wynosi V = 6 \sqrt6\ cm^3

Reklamy

ĆWICZENIE A.

Na poniższym rysunku każdy punkt oznaczony literą odpowiadapewnej liczbie. Wymień, które z tych liczb są:
a) większe od 4,
b) mniejsze od −1,
c) większe od −2 lub równe −2,
d) mniejsze od 5 lub równe 5.

ĆWICZENIE B.

Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej kilka liczb większychod −3,5. Zaproponuj, jak zaznaczyć na osi wszystkie liczby spełniające tenwarunek.Liczby, które rozważaliśmy w powyższych ćwiczeniach, musiały spełniaćpewne warunki. Każdy z tych warunków można opisać za pomocąnierówności. Zbiory wszystkich liczb spełniających takie nierówności możemy zaznaczać na osi liczbowej.

ĆWICZENIE C.

Poniższe nierówności opisują następujące zbiory liczbowe:1 — liczby dodatnie, 2 — liczby ujemne, 3 — liczby nieujemne, 4 — liczbyniedodatnie. Dopasuj każdy z tych zbiorów do odpowiedniej nierówności.

A: x < 0   B:   x ≥ 0   C:  x > 0  D:  x ≤ 0

Przyjmujemy, że na osi liczbowej odcinekłączący liczby 0 i 1 ma długość 1 i nazywamygo odcinkiem jednostkowym.

ĆWICZENIE D. Podaj przykład dwóch liczb ujemnych,których odległość na osi jest równa 1.Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej jestrówna długości odcinka łączącego punkty odpowiadające tym liczbom( jednostką długości jest odcinek jednostkowy).

Na osi liczbowej między liczbami 3 i 7 mieszcząsię 4 odcinki jednostkowe, więc odległośćmiędzy tymi liczbami wynosi 4.

 

Na osi liczbowej między liczbami −8 i −6,5mieści się 1,5 odcinka jednostkowego. Odległośćmiędzy tymi liczbami wynosi 1,5.

 

Na osi liczbowej między liczbami −2 i 6 mieścisię 8 odcinków jednostkowych. Odległośćmiędzy tymi liczbami wynosi 8.

 

ĆWICZENIE E.

Zaznacz na osi liczbowej liczby −5,6 i −2.

a) Jaka jest odległość między tymi liczbami?
b) Od większej z tych liczb odejmij liczbę mniejszą.

Co zauważyłeś?Aby obliczyć odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej, wystarczyod większej z tych liczb odjąć liczbę mniejszą.

PRZYKŁAD

Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a = −9,1 i b = −3,7?

−9,1 < −3,7
Ustalamy, która liczba jest większa.

b − a = −3,7 − (−9,1) = −3,7 + 9,1 = 5,4
Od większej z liczb odejmujemyliczbę mniejszą.

Odp. Odległość między liczbami a i b wynosi 5,4.

ZADANIE 1

Zapisz nierówność, jaką spełniają wszystkie liczby z zaznaczonego zbioru (i tylko te liczby).

CIEKAWOSTKA

Symbol |a| oznacza wartość bezwzględnąliczby a. Bezwzględną wartością liczby dodatniej lub równej 0 jest ta sama liczba,a bezwzględną wartością liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna. Na przykład:

| -5 1/3| = |5 1/3|
|0| = 0
| − 4| = 4

Wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną. Zauważ, że dla każdej liczby jej odległość od zera na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej tej liczby. Gdy dla dowolnych dwóch liczb a i b najpierw obliczymy różnicę a − b, a potem obliczymy różnicę b − a, to otrzymamy dwieliczby przeciwne, a więc liczby, który chwartości bezwzględne są równe.

Możemy więc powiedzieć, że dla dowolnych liczb a i b zachodzi równość:
|a − b| = |b − a|

Zatem, gdy chcemy określić odległość międzydwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej, nie musimy ustalać, która z liczb jest większa, wystarczy obliczyć wartość bezwzględną z dowolnej różnicy tych liczb.Do określania odległości między liczbami naosi liczbowej symbol wartości bezwzględnej przydaje się szczególnie wtedy, gdy niewiemy, która z dwóch liczb jest większa.

Czas na artykuł z geometrii analitycznej. Wiem, że wiele problemów sprawia wam równanie okręgu i nierówność opisująca koło, dlatego nimi się dzisiaj zajmiemy. Zacznę od niewielkiej porcji teorii, a później przejdziemy do zadań z rozwiązaniami. Do pracy!

Definicja

Okręgiem o środku S i promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od środka S są równe r.

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 równanie okręgu o środku S = (a,b) i promieniu r>0

Kołem o środku S i promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od środka S są mniejsze lub równe r.

(x-a)^2 + (y-b)^2 \le r^2 równanie okręgu o środku S = (a,b) i promieniu r>0

Inne równanie okręgu

x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0

Czytaj resztę wpisu »

Zdanie logiczne jest to zdanie, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdaniem logicznym nie jest pytanie ani rozkaz.

Zdania oznaczamy małymi literami.

1 – zdanie prawdziwe,
0 – zdanie fałszywe

1) Koniunkcja zdań:


\wedge – „i” koniunkcja zdań

p q p \wedge q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko, gdy oba zdania są prawdziwe. W reszcie przypadków są fałszywe.

2) Alternatywa zdań:
\vee – „lub” alternatywa zdań

p q p \vee q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Przynajmniej jedno ze zdań musi być prawdziwe, aby alternatywa dwóch zdań była prawdziwa.

Zadanie 1. Oblicz:

a) 144^{-\frac{1}{2}}= (144^{frac{1}{2}})^{-1} = 12^{-1}=\frac{1}{12}
b) 0,0016^{-0,25}= 0,0016^{-\frac{1}{4}}=(\sqrt[4]{0,0016})^{-1} = 0,2^{-1}=\frac{10}{2} = 5
c) 2,25^{-0,5}= 2,25^{-\frac{1}{2}} = (\sqrt{2,25})^{-1}=(1,5)^{-1} = (\frac{15}{10})^{-1}= \frac{10}{15} = \frac{2}{3}
d) (\frac{1}{10})^{-0,75} = [(\frac{1}{10})^{\frac{3}{4}}]^{-1} =  [(\frac{1}{10})^{-1}]^{\frac{3}{4}} = 10^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{10^3} = \sqrt[4]{1000}
e) 0,125^{-\frac{2}{3}}=  (\sqrt[3]{0,125})^{-2}=(0,5)^{-2} = (\frac{5}{10})^{-2}= \frac{100}{25} = 4
f) 0,125^{-\frac{2}{3}}=  (\sqrt[3]{0,125})^{-2}=(0,5)^{-2} = (\frac{5}{10})^{-2}= \frac{100}{25} = 4
f) 9^{-1,5}=9^{-\frac{3}{2}} = (\sqrt[2]{9^3})^{-1}= \frac{1}{27}
g) (\sqrt[3]{\sqrt{8}})^{2}= (\sqrt[3]{8^{\frac{1}{2}}})^{2}= (2^{\frac{1}{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2
h) \frac{7\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7}}{7^{\frac{3}{4}}}= \frac{7\cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot  7^{\frac{1}{4}}}{7^{\frac{3}{4}}} = \frac{7^{1\frac{3}{4}}}{7^{\frac{3}{4}}} = 7

Jeżeli macie problem z jakimś zadaniem to napiszcie je w komentarzu, a ja postaram się je wam rozwiązać a potem wytłumaczyć 🙂
Więcej zadań z potęgami i pierwiastkami można znaleźć na stronie POTĘGI i PIERWIASTKI.

a^{\frac{k}{l}} = \sqrt[l]{a^{k}}\ , \ a\neq 0 \ \ a \geq 0

a^{-1} = \frac{1}{a}

a^{-\frac{k}{l}} = \frac{1}{a^{\frac{k}{l}}}

Przykład:
\sqrt[5]{7}=7^{\frac{1}{5}}

Zadanie 1:
a) 8^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{8}=2

b) 16^{\frac{1}{4}}= \sqrt[4]{16}=2

c) 0,01^{0,5}= 0,01^{\frac{1}{2}}=\sqrt{0,001}=0,1

d) 25^{\frac{3}{2}}=\sqrt{25^{3}}=(\sqrt{25})^3 = 125

Więcej przykładów i zdań można znaleźć na stronie POTĘGA.

Zadanie 1: Oblicz:
a) \frac{4}{ \sqrt{3}-1}

\frac{4}{\sqrt{3}-1} =  \frac{4}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} =\frac{4 \cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{^{2} \not{4}(\sqrt{3}+1)}{_{1}\not{2}} = 2\sqrt{3} + 2

b) \frac{1}{ -5 - \sqrt{7}}

\frac{1}{-5-\sqrt{7}} = \frac{1}{-(5+\sqrt{7})} =  \frac{1}{-(5+\sqrt{7})} \cdot \frac{5-\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} =  \frac{1 \cdot (5-\sqrt{7}) }{-(5+\sqrt{7})(5-\sqrt{7})} = \frac{5-\sqrt{7}}{-25+7} = \frac{5-\sqrt{7}}{-18}

Zadanie 2: Sprawdź czy lewa strona równa się prawej stronie w równaniu.
a) \frac{\sqrt{3+5}}{ \sqrt{3}+\sqrt{5}} - 0,1 \sqrt{1000} = -\sqrt{6}

L = \frac{\sqrt{3+5}}{ \sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}- \sqrt{5}}{\sqrt{3}- \sqrt{5}}  - 0,1\sqrt{1000}

L =  \frac{\sqrt{3+5}\cdot (\sqrt{3}- \sqrt{5})}{ (\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}- \sqrt{5})} - 0,1\sqrt{1000}

L =  \frac{\sqrt{8} \cdot (\sqrt{3}- \sqrt{5})}{ (\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}- \sqrt{5})} - \sqrt{\frac{1}{100}} \sqrt{1000}

L =  \frac{\sqrt{24} - \sqrt{40}}{ 3 -5} - \sqrt{\frac{1000}{100}}

L =  \frac{\sqrt{4\cdot 6} - \sqrt{ 4 \cdot 10}}{ -2} - \sqrt{10}

L =  \frac{2\sqrt{ 6} - 2\sqrt{  10}}{ -2} - \sqrt{10}

L = -\sqrt{ 6} + \sqrt{  10}- \sqrt{10}

L = -\sqrt{ 6}

L = P

Aby się sprawdzić z umiejętności rozwiązywania zadań z pierwiastków polecam interaktywne testy na stronce PIERWIASTKI-TESTY. A jeżeli macie jeszcze problemy z tymi zadankami to odsyłam was do działu PIERWIASTKI tam wiele wyjaśnionych zadań i przykładów.